Carène de bateau : étude de la résistance à l'avancement et du nombre de Froude

L'étude de la résistance d'une carène de bateau consiste à calculer la force qui s'oppose à son avance, pour en déduire la force de propulsion à fournir à la vitesse choisie. Cette résistance à l'avancement se décompose en résistance visqueuse, résistance de vagues et résistance aérodynamique. Le nombre de Froude, qui compare la vitesse du bateau à sa longueur de flottaison, dit quel système de vagues accompagne la carène et ce qu'il coûte en résistance.

Au sommaire :

• Résistance à l'avancement d'une carène : les trois composantes
• Longueur et vitesse d'une vague : la relation de base
• Nombre de Froude et résistance de vagues
• Interaction des vagues d'étrave et d'arrière
• Régimes de vagues : Fn inférieur à 0,4, égal à 0,4, supérieur à 0,4 et à 0,5
• Méthode de calcul de la résistance d'une carène, et outil Heliciel

1 : Résistance à l'avancement d'une carène : les trois composantes

La force de résistance à l'avancement, exprimée en newtons, s'oppose à la route du navire. Nous pourrions la mesurer en remorquant le navire : l'appareil propulsif doit fournir une force égale et opposée pour maintenir la vitesse. Mais nous ne pouvons pas remorquer un navire qui n'est pas encore construit. Il faut donc une méthode pratique et accessible, qui donne au dessinateur et au constructeur des éléments concrets pour dimensionner l'appareil propulsif.

Il est pratique de décomposer la force de résistance hydrodynamique totale (Rh) en trois résistances principales :

1. la résistance visqueuse (Rv), composée de la résistance de frottement, qui dépend de la surface mouillée et de sa rugosité, et de la résistance de pression, qui dépend de la forme de la carène et des remous qu'elle génère ;
2. la résistance de vagues (Rw), qui dépend de la vitesse du navire et de sa longueur ;
3. la résistance aérodynamique (Ra) des superstructures exposées au vent, que nous considérons ici comme négligeable.

Aux faibles nombres de Froude, la résistance visqueuse représente de 70 à 90 % de la résistance totale. Pour la calculer, nous pouvons utiliser Heliciel selon le didacticiel sur la traînée des carènes de dirigeable et de sous-marin.

Cette étude séparée de la résistance visqueuse, de la résistance de vagues et de la résistance aérodynamique, nous la devons à Froude. La séparation peut sembler discutable, car ces forces interagissent : la vague qui se forme le long de la carène modifie la surface mouillée, donc la résistance de frottement. Mais si nous évaluons cette interaction en distinguant les différents régimes de vagues, elle offre des possibilités de calcul qui donnent des résultats exploitables pour dessiner des carènes.

2 : Longueur et vitesse d'une vague : la relation de base

En eau profonde, il existe une relation entre la longueur L d'une vague (distance entre deux crêtes, en mètres) et sa vitesse V (en m/s) :

V / √(9,81 × L) = 0,4   soit   L = (V / 0,4)² / 9,81   ou encore   L = (2π / 9,81) × V²

Le facteur 0,4 est arrondi : il vaut 1/√(2π), soit environ 0,399.

Une vague de longueur L (entre deux crêtes) et de hauteur H, qui avance à la vitesse V.

Exemple : pour un bateau qui avance à 3 m/s, la longueur des vagues qu'il produit vaut L = (2π / 9,81) × 3² = 0,640 × 9 ≈ 5,8 m.

Au passage, l'énergie contenue dans une vague, par mètre de largeur de crête, se calcule par E (joules) = (1/8) × masse volumique (kg/m³) × 9,81 × H² × L. Nous pourrions donc estimer l'énergie absorbée par des vagues observées.

3 : Nombre de Froude et résistance de vagues

Les vagues créées par le navire ont la même vitesse que lui. La relation L = (2π / 9,81) × V² donne donc, en remplaçant V par la vitesse du bateau, la distance entre deux crêtes des vagues qu'il produit.

En remplaçant dans V / √(9,81 × L) la longueur de vague L par la longueur de flottaison Lf, Froude en a déduit le nombre qui rend compte des effets de vagues sur la résistance à l'avancement des navires : le nombre de Froude.

Fn = C / √(9,81 × Lf)

avec C la vitesse du bateau (m/s) et Lf la longueur de flottaison (m). Le nombre de Froude Fn permet d'évaluer la forme des vagues qui accompagnent le navire. La figure ci-dessous donne le régime de vagues et la résistance spécifique Rh/Δ (résistance hydrodynamique totale divisée par le déplacement Δ = 9,81 × masse volumique × volume immergé) en fonction de Fn, pour plusieurs types de navires.

La résistance spécifique croît avec le nombre de Froude : pétroliers, cargos et porte-conteneurs naviguent à Fn faible ; escorteurs, croiseurs puis vedettes planantes à Fn de plus en plus élevé.

Voyons en détail les valeurs remarquables du nombre de Froude et leur effet.

4 : Interaction des vagues d'étrave et d'arrière

Nombre de Froude inférieur à 0,4

Fn inférieur à 0,4 : la longueur de vague L est inférieure à la longueur de flottaison Lf, et plusieurs crêtes longent la coque.

Aux faibles nombres de Froude (inférieurs à 0,26), au moins trois crêtes de faible hauteur longent le bateau. La résistance de vagues est peu importante, et la résistance de frottement représente de 70 à 90 % de la résistance à l'avancement. Au-dessus de 0,26, la résistance de vagues augmente, et l'interaction entre la vague d'étrave et la vague d'arrière joue un rôle significatif, en ajoutant ou en retranchant la hauteur des crêtes.

Le navire engendre principalement deux trains de vagues :

1. des vagues d'étrave, qui naissent à l'étrave ;
2. des vagues d'arrière, créées par l'aspiration de l'arrière du bateau, qui naissent à l'arrière et commencent par un creux.

La position de la première crête de la vague d'étrave dépend du nombre de Froude, comme le montre la figure ci-dessous.

Profil de la vague pour Fn = 0,461, 0,357 et 0,301 : plus Fn est élevé, plus la longueur d'onde est grande et moins il y a de crêtes le long de la coque.

Nous avons vu que l'énergie d'une vague croît avec le carré de sa hauteur H. Nous pouvons donc estimer que la résistance de vagues est d'autant plus forte que le système de vagues généré par le déplacement présente des creux importants. Le cumul ou l'annulation des vagues d'étrave et d'arrière produit ainsi des pics et des creux dans la résistance de vagues.

Deux cas : Lf = 2 L (Fn = 0,266), où la résistance de vagues passe par un minimum, et Lf = 3 × L/2 (Fn = 0,301), où elle passe par un maximum.

• Si Lf est un multiple de L, une crête de la vague d'étrave se superpose au creux du système né à l'arrière et l'annule : la résistance à l'avancement passe par un minimum.
• Si Lf est un multiple impair de L/2 (par exemple Lf = L/2 ou Lf = 3 × L/2), la vague d'étrave présente un creux au niveau de l'arrière du navire, qui s'ajoute à la vague d'arrière : la résistance à l'avancement passe par un maximum.

Ces valeurs remarquables correspondent à une série de nombres de Froude. Nous pouvons les placer, pour mémoire, sur une courbe de résistance de vagues :

La résistance de vagues présente des bosses (Fn = 0,241, 0,301, 0,461) et des creux (Fn = 0,266, 0,357) quand la vitesse augmente.

5 : Régimes de vagues : Fn inférieur à 0,4, égal à 0,4, supérieur à 0,4 et à 0,5

Nombre de Froude égal à 0,4

La longueur d'onde correspond à la longueur de la carène, et la vague d'arrière est annulée par la vague d'étrave. C'est la vitesse limite théorique pour laquelle la carène a été dessinée. Le navire navigue dans sa vague : une crête à l'avant, une crête à l'arrière et le creux au milieu. Toute augmentation de vitesse s'accompagne alors d'une forte augmentation de la résistance de vagues.

Nombre de Froude supérieur à 0,4

Entre 0,4 et 0,5, le navire remonte sur sa crête d'étrave, tandis que le creux se rapproche de l'arrière. La carène bascule et prend de l'assiette : un angle apparaît. C'est la situation la plus défavorable et la plus coûteuse en résistance de vagues, qui peut atteindre 85 % de la résistance totale à l'avancement. Le navire présente une surface frontale augmentée par cet angle. La courbe de résistance monte en flèche pour atteindre un maximum à Fn = 0,461.

Nombre de Froude supérieur à 0,5

Le navire est sur la crête de la vague d'étrave, dégage son avant et retrouve une position horizontale. C'est le domaine des coques planantes qui équipent les navires légers (la figure ci-dessus correspond à Fn supérieur à 0,7). Une surface plate est prévue à l'arrière pour prendre appui sur la vague sans l'enfoncer, et pour tenir le maximum de coque hors de l'eau. La résistance de vagues diminue fortement.

6 : Méthode de calcul de la résistance d'une carène, et outil Heliciel

Considérons un plan d'eau calme et infini, et négligeons la résistance aérodynamique. La méthode de calcul suit ces étapes :

• calcul de la surface mouillée ;
• calcul du déplacement du navire ;
• calcul du nombre de Froude ;
• estimation du régime de vagues ;
• estimation de l'assiette du navire ;
• estimation de la traînée résiduelle, par la méthode de Savitsky pour une carène planante ;
• calcul de la résistance visqueuse : résistance de frottement et résistance de pression (forme).

Pour aller plus loin, nous pouvons calculer la résistance visqueuse d'un corps immergé avec la page sur la traînée des carènes de dirigeable et de sous-marin, puis dimensionner l'hélice qui fournira cette poussée avec le calcul d'hélice de bateau.